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蔡氏电路的Matlab混沌
仿真研究
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摘要
本文首先介绍非线性系统中的混沌现象，并从理论分析与仿真计算两个方面细致研究了非线性电路中典型混沌电路，即蔡氏电路反映出的非线性性质。通过改变蔡氏电路中元件的参数，进而产生多种类型混沌现象。最后利用软件对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，实现了双涡旋和单涡旋状态下的同步，并准确地观察到混沌吸引子的行为特征。
关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB仿真
Abstract
This paper introduce s the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’s circuit was a typical chaos circuit, thus theoretical analysis and simulation was made to research it. Many kinds of chaos phenomenon on would generate as long as one component parameter was altered in C hua’s circuit．On the platform of Matlab, mathematical model of Chua’s circuit was programmed and simulated to acquire the synchronization of dual and single cochlear volume. Meanwhile, behavioral characteristics of chaos attractor were observed.
Key words：chaos phenomenon；Chua’s circuit；Simulation
1、引言
混沌理论的基本思想起源于20世纪初，完善于20世纪60年代后，发展壮大于20世纪80年代，被认为是继相对论、量子力学之后，人类认识世界和改造世界的最富有创造性的科学领域第三次大革命。混沌理论揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，简单性与复杂性的统一，稳定性与不稳定性的统一，完全性与不完全性的统一，自相似性与非相似性的统一，并成为正确的宇宙观和自然哲学的里程碑。今天，混沌理论又与计算机科学等相结合，使人们对一些久悬未解的难题的研究取得了突破性进展，在探索、描述及研究客观世界的复杂性方面发挥了巨大作用。
混沌现象是非线性系统在特定条件下产生的特殊行为，作为一种普遍存在的非线性现象，混沌的发现对科学的发展具有深远的影响。混沌行为是确定性因素导致的类似随机运动的行为，即:一个可由确定性方程描述的非线性系统，其长期行为表现为明显的随机性和不可预测性，我们就认为该系统存在混沌现象。混沌具有三个特点1、随机性，即混沌具有类似随机变量的杂乱表现；
2、遍历性，即能够不重复地历经系统的所有状态点；
3、规律性，即混沌是由确定性的迭代式产生的。混沌还有一个很重要的性质：系统行为对初始条件非常敏感。
物理、化学、生物学，以及社会科学等等各个学科领域中都有混沌现象。近年来许多学者通过非线性电路对混沌行为进行了广泛地研究，其中最典型的是由美国Berkeley大学的Leon. O.Chua提出的蔡氏电路，它是能产生混沌行为的最小、最简单的三阶自治电路。
自从1983年电路发现以来，它一直是人们研究混沌现象的重要模型，在许多文献中都以蔡氏电路为基础研究混沌现象。它的优点在于电路非常简单，但其非线性动力学行为却极其丰富。本文对蔡氏电路的混沌特性进行了理论分析，并通过仿真观察三阶自治动力系统的混沌双涡卷吸引子和稳定周期轨道。
2、蔡氏电路结构模型
1983年，美籍华裔科学家蔡少棠教授首次提出了著名的蔡氏电路(Chua’s circuit)。它是历史上第一例用电子电路来证实混沌现象的电路，也是迄今为止在非线性电路中产生复杂动力学行为的最为有效和较为简单的电路。通过改变蔡氏电路的拓扑结构或电路参数，可以产生倍周期分叉、单涡卷、双涡卷吸引子、多涡卷吸引子等十分丰富的混沌现象。因此可以说蔡氏电路开启了混沌电子学的大门，人们已围绕它开展了混沌机理的探索、混沌在保密通信中的应用研究，并取得了一系列丰硕的成果。
自治动力系统产生混沌现象需要以下条件：系统至少有三个状态变量，并且存在一定的非线性环节。蔡氏电路使用三个储能元件和一个分段线性电阻，电路如图1所示。可以把电路分为线性部分和非线性部分。其中线性部分包括：电阻R、电感L和两个电容C1与C2；非线性部分只有一个分段线性电阻R m，其伏安特性如图2所示。
i
+
-图1 蔡氏电路
图2 非线性电阻的伏安特性
根据图1 可以列写所示电路的三阶微分方程组为：
)()(1d d 11211u f u u R
t u C --= L i u u R t u C --=)(1d d 2122
(1) 2u dt
di L l -= 其中, i r = f (u 1) = f (u r ) , 它是一个三段线性的分段线性函数:
?????≤=-+≤≥=-+==E
u u m m E u m E u u m E u u m m E u m u f i r 10110111101101)()()( 也可以写成：{}E u E u m m u m u f +-+-+=1101101)(2
1)(。 E u x 1=，E u y 2=，E
R i z L = 如果定义：R C t 2=τ，R m a 1=，R m b 0=，12C C =α，L R C 2
2=β (2)
则原微分方程组(1) 变为
))((d d x f x y x --=ατ z y x y +-=τ
d d (3)
y z βτ
-=d d 其中：?????-=+-≤≥-+==111)(1x b a bx x ax
x b a bx u f i r 蔡氏电路中的非线性电阻又称为蔡氏二极管，可采用多种方式实现。一种较简单的实现，它相当于两个非线性电阻R N1和R N2的并联。图3给出R N1和R N2的电路及其伏安特性。
适当选取电阻参数值使E2远大E1，也远大于蔡氏电路工作时uc1的变化范围，则在电路的工作范围内，RN2是一个线性负电阻，RN1和RN2并联后可实现图l 中非线性电阻RN 的伏安特性。
图3 两个非线性电阻的及其伏安特性
3、蔡氏电路Matlab仿真
通过电路参数的调整，我们可以从蔡氏电路中观察到丰富的非线性动态特性，以下我们详细地给出各种特性的Matlab仿真结果。
在图1 所示的电路中，选择电路参数为：C1= 10nF，C2= 100nF，L = 18mH，改变电路各参数均可改变电路的非线性特性。以改变电阻参数为例，通过Matlab仿真电阻由小到大改变，初初值取x = 0.01，y = 0，z = 0；步长为0.01，共计算20000个点。当电阻为1.86 kΩ时系统开始出现双涡卷吸引子如图4所示。
(a) 吸引子在相平面iL- u(1) 上的投影(b) 吸引子在相平面iL- u(2) 上的投影
(c) 吸引子在相平面u(1)- u(2) 上的投影(d) 吸引子在相平面t- u(1) 上的投影
图4 电阻R = 1.86 kΩ时的吸引子
给出几种典型的吸引子在状态空间的投影如图4所示。当电阻为1934Ω时系统开始出现螺旋吸引子。
(a) R=1932Ω时的双涡卷吸引子(b) R=1933Ω时的双涡卷吸引子
(c) R=1934Ω时的螺旋吸引子(d) R=1965Ω时的螺旋吸引子
图5吸引子在相平面iL- u(1) 上的投影
4、总结
由上述分析及仿真结果可知，虽然蔡氏电路非常简单，但其非线性动力学行为却极其丰富，当选择适当的电路参数时，其动态特性出现混沌现象，此时，奇怪吸引子具有双涡卷结构，出现连续的功率谱，分形特征可用分数维来描述。 |
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