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有理数部分
1．填空：
(1)当a________时，a与－a必有一个是负数；
(2)在数轴上，与原点0相距5个单位长度的点所表示的数是________；
(3)在数轴上，A点表示＋1，与A点距离3个单位长度的点所表示的数是________；
(4)在数轴的原点左侧且到原点的距离等于6个单位长度的点所表示的数的绝对值是
_______．
错解(1)a为任何有理数；(2)＋5；(3)＋3；(4)－6．
2．用“有”、“没有”填空：
在有理数集合里，________最大的负数，________最小的正数，________绝对值最小的有理数．
错解有，有，没有．
3．用“都是”、“都不是”、“不都是”填空：
(1)所有的整数________负整数；
(2)小学里学过的数________正数；
(3)带有“＋”号的数________正数；
(4)有理数的绝对值________正数；
(5)若|a|＋|b|=0，则a，b________零；
(6)比负数大的数________正数．
错解(1)都不是；(2)都是；(3)都是；(4)都是；(5)不都是；(6)都是．
4．用“一定”、“不一定”、“一定不”填空：
(1)－a________是负数；
(2)当a＞b时，________有|a|＞|b|；
(3)在数轴上的任意两点，距原点较近的点所表示的数________大于距原点较远的点所表示的数；
(4)|x|＋|y|________是正数；
(5)一个数________大于它的相反数；
(6)一个数________小于或等于它的绝对值；
错解(1)一定；(2)一定；(3)一定不；(4)一定；(5)一定；(6)不一定．
5．把下列各数从小到大，用“＜”号连接：
并用“＞”连接起来．
8．填空：
(1)如果－x=－(－11)，那么x=________；
(2)绝对值不大于4的负整数是________；
(3)绝对值小于4.5而大于3的整数是________．
错解(1)11；(2)－1，－2，－3；(3)4．
9．根据所给的条件列出代数式：
(1)a，b两数之和除a，b两数绝对值之和；
(2)a与b的相反数的和乘以a，b两数差的绝对值；
(3)一个分数的分母是x，分子比分母的相反数大6；
(4)x，y两数和的相反数乘以x，y两数和的绝对值．
10．代数式－|x|的意义是什么？
错解代数式－|x|的意义是：x的相反数的绝对值．11．用适当的符号(＞、＜、≥、≤)填空：
(1)若a是负数，则a________－a；
(2)若a是负数，则－a_______0；
(3)如果a＞0，且|a|＞|b|，那么a________ b．
错解(1)＞；(2)＜；(3)＜．
12．写出绝对值不大于2的整数．
错解绝对值不大2的整数有－1，1．
13．由|x|=a能推出x=±a吗？
错解由|x|=a能推出x=±a．如由|x|=3得到x=±3，由|x|=5得到x=±5．14．由|a|=|b|一定能得出a=b吗？
错解一定能得出a=b．如由|6|=|6|得出6=6，由|－4|=|－4|得－4=－4．15．绝对值小于5的偶数是几？
错解绝对值小于5的偶数是2，4．
16．用代数式表示：比a的相反数大11的数．
错解－a－11．
17．用语言叙述代数式：－a－3．
错解代数式－a－3用语言叙述为：a与3的差的相反数．
18．算式－3＋5－7＋2－9如何读？
错解算式－3＋5－7＋2－9读作：负三、正五、减七、正二、减九．19．把下列各式先改写成省略括号的和的形式，再求出各式的值．
(1)(－7)－(－4)－(＋9)＋(＋2)－(－5)；
(2)(－5)－(＋7)－(－6)＋4．
解
(1)(－7)－(－4)－(＋9)＋(＋2)－(－5)
=－7－4＋9＋2－5=－5；
(2)(－5)－(＋7)－(－6)＋4
=5－7＋6－4=8．
20．计算下列各题：
(2)5－|－5|=10；
21．用适当的符号(＞、＜、≥、≤)填空：
(1)若b为负数，则a＋b________a；
(2)若a＞0，b＜0，则a－b________0；
(3)若a为负数，则3－a________3．
错解(1)＞；(2)≥；(3)≥．
22．若a为有理数，求a的相反数与a的绝对值的和．错解－a＋|a|=－a＋a=0．
23．若|a|=4，|b|=2，且|a＋b|=a＋b，求a－b的值．
错解由|a|=4，得a=±4；由|b|=2，得b=±2．
当a=4，b=2时，a－b=2；
当a=4，b=－2时，a－b=6；
当a=－4，b=2时，a－b=－6；
当a=－4，b=－2时，a－b=－2．
24．列式并计算：－7与－15的绝对值的和．
错解|－7|＋|－15|=7＋15=22．
25．用简便方法计算：
26．用“都”、“不都”、“都不”填空：
(1)如果ab≠0，那么a，b________为零；
(2)如果ab＞0，且a＋b＞0，那么a，b________为正数；
(3)如果ab＜0，且a＋b＜0，那么a，b________为负数；
(4)如果ab=0，且a＋b=0，那么a，b________为零．
错解(1)不都；(2)不都；(3)都；(4)不都．
27．填空：
(3)a，b为有理数，则－ab是_________；
(4)a，b互为相反数，则(a＋b)a是________．
错解(1)负数；(2)正数；(3)负数；(4)正数．
28．填空：
(1)如果四个有理数相乘，积为负数，那么负因数个数是________；
错解(1)3；(2)b＞0．
29．用简便方法计算：
解
30．比较4a和－4a的大小：
错解因为4a是正数，－4a是负数．而正数大于负数，所以4a＞－4a．
31．计算下列各题：
(5)－15×12÷6×5．
解
=－48÷(－4)=12；
(5)－15×12÷6×5
错解因为|a|=|b|，所以a=b．
=1＋1＋1=3．
34．下列叙述是否正确？若不正确，改正过来．
(1)平方等于16的数是(±4)2；
(2)(－2)3的相反数是－23；
错解(1)正确；(2)正确；(3)正确．
35．计算下列各题；
(1)－0.752；(2)2×32．
解
36．已知n为自然数，用“一定”、“不一定”或“一定不”填空：
(1)(－1)n＋2________是负数；
(2)(－1)2n＋1________是负数；
(3)(－1)n＋(－1)n＋1________是零．
错解(1)一定不；(2)不一定；(3)一定不．
37．下列各题中的横线处所填写的内容是否正确？若不正确，改正过来．
(1)有理数a的四次幂是正数，那么a的奇数次幂是负数；
(2)有理数a与它的立方相等，那么a=1；
(3)有理数a的平方与它的立方相等，那么a=0；
(4)若|a|=3，那么a3=9；
(5)若x2=9，且x＜0，那么x3=27．
38．用“一定”、“不一定”或“一定不”填空：
(1)有理数的平方________是正数；
(2)一个负数的偶次幂________大于这个数的相反数；
(3)小于1的数的平方________小于原数；
(4)一个数的立方________小于它的平方．
错解(1)一定；(2)一定；(3)一定；(4)一定不．
39．计算下列各题：
(1)(－3×2)3＋3×23；(2)－24－(－2)4；
(3)－2÷(－4)2；
解
(1)(－3×2)3＋3×23=－3×23＋3×23
=0；
(2)－24－(－2)4=0；
40．用科学记数法记出下列各数：
(1)314000000；(2)0.000034．
错解(1)314000000=3.14×106；
(2)0.000034=3.4×10－4．
41．判断并改错(只改动横线上的部分)：
(1)用四舍五入得到的近似数0.0130有4个有效数字．
(2)用四舍五入法，把0.63048精确到千分位的近似数是0.63．
(3)由四舍五入得到的近似数3.70和3.7是一样的．
(4)由四舍五入得到的近似数4.7万，它精确到十分位．
42．改错(只改动横线上的部分)：
(1)已知5.0362=25.36，那么50.362=253.6，0.050362=0.02536；
(2)已知7.4273=409.7，那么74.273=4097，0.074273=0.04097；
(3)已知3.412=11.63，那么(34.1)2=116300；
(4)近似数2.40×104精确到百分位，它的有效数字是2，4；
(5)已知5.4953=165.9，x3=0.0001659，则x=0.5495．
有理数·错解诊断练习正确答案
1．(1)不等于0的有理数；(2)＋5，－5；(3)－2，＋4；(4)6．
2．(1)没有；(2)没有；(3)有．
3．(1)不都是；(2)不都是；(3)不都是；(4)不都是；(5)都是；(6)不都是．
原解错在没有注意“0”这个特殊数(除(1)、(5)两小题外)．
4．(1)不一定；(2)不一定；(3)不一定；(4)不一定；(5)不一定；(6)一定．
上面5，6，7题的原解错在没有掌握有理数特别是负数大小的比较．
8．(1)－11；(2)－1，－2，－3，－4；(3)4，－4．
10．x绝对值的相反数．
11．(1)＜；(2)＞；(3)＞．
12．－2，－1，0，1，2．
13．不一定能推出x=±a，例如，若|x|=－2．则x值不存在．
14．不一定能得出a=b，如|4|=|－4|，但4≠－4．
15．－2，－4，0，2，4．
16．－a＋11．
17．a的相反数与3的差．
18．读作：负三、正五、负七、正二、负九的和，或负三加五减七加二减九．
19．(1)原式=－7＋4－9＋2＋5=－5；
(2)原式=－5－7＋6＋4=－2．
21．＜；＞；＞．
22．当a≥0时，－a＋|a|=0，当a＜0时，－a＋|a|=－2a．
23．由|a＋b|=a＋b知a＋b≥0，根据这一条件，得a=4，b=2，所以a－b=2；a=4，b=－2，所以a－b=6．
24．－7＋|－15|=－7＋15=8．
26．(1)都不；(2)都；(3)不都；(4)都．
27．(1)正数、负数或零；(2)正数、负数或零；
(3)正数、负数或零；(4)0．
28．(1)3或1；(2)b≠0．
30．当a＞0时，4a＞－4a；当a=0时，4a=－4a；当a＜0时，4a＜－4a．
(5)－150．
32．当b≠0时，由|a|=|b|得a=b或a=－b，
33．由ab＞0得a＞0且b＞0，或a＜0且b＜0，求得原式值为3或－1．
34．(1)平方等于16的数是±4；(2)(－2)3的相反数是23；(3)(－5)100．
36．(1)不一定；(2)一定；(3)一定．
37．(1)负数或正数；(2)a=－1，0，1；(3)a=0，1；(4)a3＝±27；(5)x3＝－27．
38．(1)不一定；(2)不一定；(3)不一定；(4)不一定．
40．(1)3.14×108；(2)3.4×10-5．
41．(1)有3个有效数字；(2)0.630；(3)不一样；(4)千位．
42．(1)2536，0.002536；(2)409700，0.0004097；(3)341；(4)百位，有效数字2，4，0；(5)0.05495．整式的加减
例1 下列说法正确的是（）
A. b 的指数是0
B. b 没有系数
C. －3是一次单项式
D. －3是单项式
分析：正确答案应选D 。这道题主要是考查学生对单项式的次数和系数的理解。选A 或B 的同学忽略了b 的指数或系数1都可以省略不写，选C 的同学则没有理解单项式的次数是指字母的指数。 例2 多项式2676
3
2
2
3
4
-+--x y x y x x 的次数是（ ）
A. 15次
B. 6次
C. 5次
D. 4次
分析：易错答A 、B 、D 。这是由于没有理解多项式的次数的意义造成的。正确答案应选C 。 例3 下列式子中正确的是（ ） A.
527a b ab +=
B.
770ab ba -=
C. 452
2
2
x y xy x y -=-
D. 358235x x x +=
分析：易错答C 。许多同学做题时由于马虎，看见字母相同就误以为是同类项，轻易地就上当，学习中务必要引起重视。正确答案选B 。
例4 把多项式352423x x x +--按x 的降幂排列后，它的第三项为（ ） A. －4
B. 4x
C. -4x
D. -23x
分析：易错答B 和D 。选B 的同学是用加法交换律按x 的降幂排列时没有连同“符号”考虑在内，选D 的同学则完全没有理解降幂排列的意义。正确答案应选C 。 例5 整式---[()]a b c 去括号应为（ ）
A. --+a b c
B. -+-a b c
C. -++a b c
D. ---a b c
分析：易错答A 、D 、C 。原因有：（1）没有正确理解去括号法则；（2）没有正确运用去括号的顺序是从里到外，从小括号到中括号。
例6 当k 取（ ）时，多项式x kxy y xy 2
2
331
3
8--+-中不含xy 项 A. 0
B.
13
C.
19
D. -1
9
分析：这道题首先要对同类项作出正确的判断，然后进行合并。合并后不含xy 项（即缺xy 项）的意义是xy 项的系数为0，从而正确求解。正确答案应选C 。
例7 若A 与B 都是二次多项式，则A －B ：（1）一定是二次式；（2）可能是四次式；（3）可能是一次式；（4）可能是非零常数；（5）不可能是零。上述结论中，不正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
分析：易错答A 、C 、D 。解这道题时，尽量从每一个结论的反面入手。如果能够举出反例即可说明原结论不成立，从而得以正确的求解。 例8 在()()[()][()]a b c a b c a a -++-=+-的括号内填入的代数式是（ ）
A. c b c b --，
B. b c b c ++，
C. b c b c +-，
D. c b c b -+，
分析：易错答D 。添后一个括号里的代数式时，括号前添的是“－”号，那么b c 、-这两项
都要变号，正确的是A 。
例9 求加上--35a 等于22a a +的多项式是多少？ 错解：2352a a a ++-
=+-2452a a
这道题解错的原因在哪里呢？
分析：错误的原因在第一步，它没有把减数（--35a ）看成一个整体，而是拆开来解。 正解：()()2352
a a a +---
=+++=++235245
22
a a a a a
答：这个多项式是2452a a ++
例10 化简-++-323132222
()()a b b a b b 错解：原式=-++-323132222a b b a b b =-112
b
分析：错误的原因在第一步应用乘法分配律时，22b 这一项漏乘了－3。 正解：原式=--+-363132222a b b a b b =-192
b
巩固练习
1. 下列整式中，不是同类项的是（ ） A. 313
2
2
x y yx 和-
B. 1与－2
C. m n 2与3102
2
?nm
D.
131
3
22a b b a 与 2. 下列式子中，二次三项式是（ ） A.
1
3222
2x
xy y ++ B. x x 2
2- C. x xy y 2
2
2-+
D. 43+-x y
3. 下列说法正确的是（ ） A. 35a -的项是35a 和
B.
a c
a a
b b +++8
2322与是多项式 C. 32
2
3
3
x y xy z ++是三次多项式 D. x xy x
818161
++和
都是整式 4. --x x 合并同类项得（ ）
A. -2x
B. 0
C. -22x
D. -2
5. 下列运算正确的是（ ） A. 32222a a a -= B. 32122a a -= C. 3322a a -=
D. 3222a a a -=
6. ()a b c -+的相反数是（ ） A. ()a b c +-
B. ()a b c --
C. ()-+-a b c
D. ()a b c ++
7. 一个多项式减去x y 3
3
2-等于x y 3
3
+，求这个多项式。
参考答案 1. D
2. C
3. B
4. A
5. A
6. C
7. 23
3
x y -
一元一次方程部分
一、解方程和方程的解的易错题：
一元一次方程的解法：
重点：等式的性质，同类项的概念及正确合并同类项，各种情形的一元一次方程的解法； 难点：准确运用等式的性质进行方程同解变形(即进行移项，去分母，去括号，系数化一等步骤的符号问题，遗漏问题)；
学习要点评述：对初学的同学来讲，解一元一次方程的方法很容易掌握，但此处有点类似于前面的有理数混合运算，每个题都感觉会做，但就是不能保证全对。从而在学习时一方面要反复关注方程变形的法则依据，用法则指导变形步骤，另一方面还需不断关注易错点和追求计算过程的简捷。 易错范例分析： 例1.
(1)下列结论中正确的是( )
A.在等式3a-6=3b+5的两边都除以3，可得等式a-2=b+5
B.在等式7x=5x+3的两边都减去x-3，可以得等式6x-3=4x+6
C.在等式-5=0.1x 的两边都除以0.1，可以得等式x=0.5
D.如果-2=x ，那么x=-2
(2)解方程20-3x=5，移项后正确的是（ ）
A.-3x=5+20
B.20-5=3x
C.3x=5-20
D.-3x=-5-20 (3)解方程-x=-30，系数化为1正确的是( )
A.-x=30
B.x=-30
C.x=30
D.
(4)解方程，下列变形较简便的是( )
A.方程两边都乘以20，得4(5x-120)=140
B.方程两边都除以，得
C.去括号，得x-24=7
D.方程整理，得
解析：
(1) 正确选项D。方程同解变形的理论依据一为数的运算法则，运算性质；一为等式性质(1)、(2)、(3)，通常都用后者，性质中的关键词是“两边都”和“同一个”，即对等式变形必须两边同时进行加或减或乘或除以，不可漏掉一边、一项，并且加减乘或除以的数或式完全相同。选项A错误，原因是没有将“等号”右边的每一项都除以3；选项B错误，原因是左边减去x-3时，应写作“-(x-3)”而不“-x-3”，这里有一个去括号的问题；C亦错误，原因是思维跳跃短路，一边记着是除以而到另一边变为乘以了，对一般象这样小数的除法可以运用有理数运算法则变成乘以其倒数较为简捷，选项D正确，这恰好是等式性质③对称性即a=b b=a。
(2) 正确选项B。解方程的“移项”步骤其实质就是在“等式的两边同加或减同一个数或式”性质①，运用该性质且化简后恰相当于将等式一边的一项变号后移到另一边，简单概括就成了“移项”步骤，此外最易错的就是“变号”的问题，如此题选项A、C、D均出错在此处。解决这类易错点的办法是：或记牢移项过程中的符号法则，操作此步骤时就予以关注；或明析其原理，移项就是两边同加或减该项的相反数，使该项原所在的这边不再含该项----即代数和为0。
(3)正确选项C。选项B、D错误的原因虽为计算出错，但细究原因都是在变形时，法则等式性质指导变形意识淡，造成思维短路所致。
(4)等式性质及方程同解变形的法则虽精炼，但也很宏观，具体到每一个题还需视题目的具体特点灵活运用，解一道题目我们不光追求解出，还应有些简捷意识，如此处的选项A、B、D所提供方法虽然都是可行方法，但与选项C相比，都显得繁。
例2.
(1)若式子3nx m+2y4和-mx5y n-1能够合并成一项，试求m+n的值。
(2)下列合并错误的个数是( )
①5x6+8x6=13x12②3a+2b=5ab③8y2-3y2=5④6a n b2n-6a2n b n=0
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
解析：
(1)3nx m+2y4和-mx5y n-1能够合并，则说明它们是同类项，即所含字母相同，且相同字母的指数也相同。此题两式均各含三个字母n、x、y和m、x、y，若把m、n分别看成2个字母，则此题显然与概念
题设不合，故应该把m、n看作是可由已知条件求出的常数，从而该归并为单项式的系数，再从同
类项的概念出发，有：
解得m=3 ,n=5从而m+n=8
评述：运用概念定义解决问题是数学中常用的方法之一，本题就是准确地理解了“同类项”、“合并”的概念，认真进行了逻辑判断；确定了m、n为可确定值的系数。
(2)“合并”只能在同类项之间进行，且只对同类项间的系数进行加减运算化简，这里的实质是逆用乘法对加法的分配律，所以4个合并运算，全部错误，其中②、④就不是同类项，不可合并，①、②分别应为：5x6+8x6=13x68y2-3y2=5y2
例3.解下列方程
(1)8-9x=9-8x
(2)
(3)
(4)
解：
(1)8-9x=9-8x
-9x+8x=9-8
-x=1
x=1
易错点关注：移项时忘了变号；
(2)
法一：
4(2x-1)-3(5x+1)=24
8x-4-15x-3=24
-7x=31
易错点关注：两边同乘兼约分去括号，有同学跳步急赶忘了，4(2x-1)化为8x-1，分配需逐项分配，-3(5x+1)化为-15x+3忘了去括号变号；
法二：(就用分数算)
此处易错点是第一步拆分式时将，忽略此处有一个括号前面是负号，去掉括号要变号的问题，即；
(3)
6x-3(3-2x)=6-(x+2)
6x-9+6x=6-x-2
12x+x=4+9
13x=13
x=1易错点关注：两边同乘，每项均乘到，去括号注意变号；
(4)
2(4x-1.5)-5(5x-0.8)=10(1.2-x)
8x-3-25x+4=12-10x
-7x=11
评述：此题首先需面对分母中的小数，有同学会忘了小数运算的细则，不能发现
，而是两边同乘以0.5×0.2进行去分母变形，更有思维跳跃的同学认为0.5×0.2=1，两边同乘以1，将方程变形为：0.2(4x-1.5)-0.5(5x-0.8)=10(1.2-x)
概述：无论什么样的一元一次方程，其解题步骤概括无非就是“移项，合并，未知数系数化1”这几个步骤，从操作步骤上来讲很容易掌握，但由于进行每个步骤时都有些需注意的细节，许多都是我们认识问题的思维瑕点，需反复关注，并落实理解记忆才能保证解方程问题――做的正确率。若仍不够自信，还可以用检验步骤予以辅助，理解方程“解”的概念。
例4.下列方程后面括号内的数，都是该方程的解的是( )
A.4x-1=9
B.
C.x2+2=3x (-1，2)
D.(x-2)(x+5)=0 (2，-5)
分析：依据方程解的概念，解就是代入方程能使等式成立的值，分别将括号内的数代入方程两边，求方程两边代数式的值，只有选项D中的方程式成立，故选D。
评述：依据方程解的概念，解完方程后，若能有将解代入方程检验的习惯将有助于促使发现易错点，提高解题的正确率。
例5.根据以下两个方程解的情况讨论关于x的方程ax=b(其中a、b为常数)解的情况。
(1)3x+1=3(x-1)
(2)
解:
(1)3x+1=3(x-1)
3x-3x=-3-1
0·x=-4
显然，无论x取何值，均不能使等式成立，所以方程3x+1=3(x-1)无解。
(2)
0·x=0
显然，无论x取何值，均可使方程成立，所以该方程的解为任意数。
由(1)(2)可归纳：
对于方程ax=b
当a≠0时，它的解是；
当a=0时，又分两种情况：
①当b=0时，方程有无数个解，任意数均为方程的解；
②当b≠0时，方程无解。
二、从实际问题到方程
（一）本课重点，请你理一理
列方程解应用题的一般步骤是：
（1）“找”：看清题意，分析题中及其关系，找出用来列方程的____________；
（2）“设”：用字母（例如x）表示问题的_______；
（3）“列”：用字母的代数式表示相关的量，根据__________列出方程；
（4）“解”：解方程；
（5）“验”：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答
（6）“答”：答出题目中所问的问题。
（二）易错题，请你想一想
1.建筑工人浇水泥柱时，要把钢筋折弯成正方形.若每个正方形的面积为400平方厘米，应选择下列表中的哪种型号的钢筋？
是否正确和符合实际情形，因为钢筋的长为正数，所以取x=80，故应选折C型钢筋.
2.你在作业中有错误吗？请记录下来，并分析错误原因.
三、行程问题
（一）本课重点，请你理一理
1.基本关系式：_________________ __________________ ;
2.基本类型：相遇问题; 相距问题; ____________ ;
3.基本分析方法：画示意图分析题意，分清速度及时间，找等量关系（路程分成几部分）.
4.航行问题的数量关系：
（1）顺流（风）航行的路程=逆流（风）航行的路程
（2）顺水（风）速度=_________________________
逆水（风）速度=_________________________
（二）易错题，请你想一想
1.甲、乙两人都以不变速度在400米的环形跑道上跑步，两人在同一地方同时出发同向而行，甲的速度为100米/分乙的速度是甲速度的3/2倍，问（1）经过多少时间后两人首次遇（2）第二次相遇呢？
思路点拨：此题是关于行程问题中的同向而行类型。由题可知，甲、乙首次相遇时，乙走的路程比甲多一圈；第二次相遇他们之间的路程差为两圈的路程。所以经过8分钟首次相遇，经过16分钟第二次相遇。
2.你在作业中有错误吗？请记录下来，并分析错误原因.
四、调配问题
（一）本课重点，请你理一理 |
中发现Ni：
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